Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ als Gleichung.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ um.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 e^{y}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} - 2 x e^{y}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- 2 x e^{y}$ heraus.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ heraus.

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 3.4.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 3.4.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.5.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 3.4.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 3.4.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Schritt 5.2.4.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Schritt 5.2.4.6

Schreibe $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.6.1

Subtrahiere $2 e^{x}$ von $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Schritt 5.2.4.6.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $2 e^{x} + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ mit $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 e^{x} + 1$ und $1 + 2 e^{x}$ .

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Schritt 5.2.8.1

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Schritt 5.2.8.3

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.9

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.10

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.11

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Schritt 5.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Schritt 5.3.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$