Analysis Beispiele

$f (x) = \arctan (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \arctan (x)$ als Gleichung.

$y = \arctan (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \arctan (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\arctan (y) = x$ um.

$\arctan (y) = x$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (x)$

Schritt 3.3

Entferne die Klammern.

$y = \tan (x)$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \arctan (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\arctan (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Schritt 5.2.3

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$f^{- 1} (\arctan (x)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\tan (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \tan (x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x)$