Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- 8 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{- 8 x}$ als Gleichung.

$y = e^{- 8 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{- 8 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{- 8 y} = x$ um.

$e^{- 8 y} = x$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 8 y}) = \ln (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{- 8 y})$ durch Herausziehen von $- 8 y$ aus dem Logarithmus.

$- 8 y \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- 8 y \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 y = \ln (x)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = \ln (x)$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y = \ln (x)$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 8}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\ln (x)}{8}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{- 8 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{- 8 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{\ln (e^{- 8 x})}{8}$

Schritt 5.2.3

Zerlege $\ln (e^{- 8 x})$ durch Herausziehen von $- 8 x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- 8 x \ln (e)}{8}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8 x \ln (e)$ heraus.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 (1)}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{8 (- x \ln (e))}{8 \cdot 1}$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - \frac{- x \ln (e)}{1}$

Schritt 5.2.4.2.4

Dividiere $- x \ln (e)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \ln (e))$

Schritt 5.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = - (- x \cdot 1)$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{- 8 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{\ln (x)}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 (- \frac{\ln (x)}{8})}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (x)}{8}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 8 \frac{- \ln (x)}{8}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 (- 1) (\frac{- \ln (x)}{8})}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{8 \cdot (- 1 \frac{- \ln (x)}{8})}$

Schritt 5.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{- 1 (- \ln (x))}$

Schritt 5.3.4

Multipliziere.

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{1 \ln (x)}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = e^{\ln (x)}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \frac{\ln (x)}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{- 8 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{8}$