Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{8 - 4 y} = x$ um.

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - 4 y}$ als ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 - 4 y = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x^{2} - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x^{2} - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 - 4 x$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- x)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2 - x}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ als $2 - x$ um.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.10

Faktorisiere $4$ aus $8 - 4 x$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.10.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.1.10.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- x)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $2 - x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + x + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4$ aus $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Schritt 5.3.5.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Schritt 5.3.5.3

Addiere $\frac{x^{2}}{4}$ und $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x^{2}}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Schritt 5.3.7.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.7.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$