Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ als Gleichung.

$y = 2 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y^{2} + 3 y + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y^{2} + 3 y + 1 = x$ um.

$2 y^{2} + 3 y + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 3 y + 1 - x = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 3$ und $c = 1 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.6

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.1.6

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.6.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{1 + 8 x}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Schritt 3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{1 + 8 x})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 - \sqrt{1 + 8 x})}{4}$

Schritt 3.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.1.6

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 - \sqrt{1 + 8 x}$ heraus.

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Schritt 3.7.4.1

Stelle $1$ und $8 x$ um.

$y = \frac{- 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 3.7.4.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 3.7.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{8 x + 1}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{8 x + 1})}{4}$

Schritt 3.7.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{8 x + 1})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Schritt 3.7.4.5

Schreibe $- 1 (3 + \sqrt{8 x + 1})$ als $- (3 + \sqrt{8 x + 1})$ um.

$y = \frac{- (3 + \sqrt{8 x + 1})}{4}$

Schritt 3.7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

$y = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$

$y = - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ und $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{1 + 8 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 + 8 x \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$8 x \geq - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 1$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x \geq - 1$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{8}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{8}$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{1}{8}, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

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Schritt 5.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ der Wertebereich von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ der Definitionsbereich von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$ die inverse Funktion von $f (x) = 2 x^{2} + 3 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 - \sqrt{1 + 8 x}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{8 x + 1}}{4}$

Schritt 6