Analysis Beispiele

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ als Gleichung.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ um.

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ durch $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ durch Herausziehen von $\frac{y}{3} + 1$ aus dem Logarithmus.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{y}{3} + 1$ mit $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Schritt 3.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Schritt 3.6

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Schritt 3.7

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.7.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Schritt 3.7.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Schritt 3.7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.2.1

Vereinfache $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

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Schritt 3.7.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Schritt 3.7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Schritt 5.2.3.1.2

Dividiere $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Schritt 5.2.3.2

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{1}{3} x + 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Schritt 5.2.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{x}{3} + 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Schritt 5.2.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Schritt 5.2.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Schritt 5.2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Vereinfache $3 \ln (\frac{x}{3})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{3}}{27}$ an.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 5.3.3.5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.2.2

Vereinfache.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.5.3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.3.5.3.4

Berechne den Exponenten.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\ln (\frac{x}{3})$ und $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Schritt 5.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$