Analysis Beispiele

$f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ als Gleichung.

$y = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 9 \sqrt[7]{8 y - 7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ um.

$9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sqrt[7]{8 y - 7} = x$ durch $9$ .

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sqrt[7]{8 y - 7}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt[7]{8 y - 7}$ durch $1$ .

$\sqrt[7]{8 y - 7} = \frac{x}{9}$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $7$ . Potenz.

${\sqrt[7]{8 y - 7}}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8 y - 7}$ als ${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 y - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 y - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 y - 7)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$8 y - 7 = {(\frac{x}{9})}^{7}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{9})}^{7}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{9}$ an.

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{9^{7}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $9$ mit $7$ .

$8 y - 7 = \frac{x^{7}}{4782969}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = \frac{x^{7}}{4782969} + 7$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{7}}{4782969}}{8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{7}}{4782969} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{x^{7} \cdot 1}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Mutltipliziere $x^{7}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{7}}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Schritt 3.5.2.3.1.4

Mutltipliziere $4782969$ mit $8$ .

$y = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{{(9 \sqrt[7]{8 x - 7})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ an.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{9^{7} {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.2

Potenziere $9$ mit $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3

Schreibe ${\sqrt[7]{8 x - 7}}^{7}$ als $8 x - 7$ um.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{8 x - 7}$ als ${(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {({(8 x - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 {(8 x - 7)}^{\frac{7}{7}}}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.1.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{38263752} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $4782969$ aus $38263752$ heraus.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{4782969 (8 x - 7)}{4782969 \cdot 8} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7}{8} + \frac{7}{8}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x - 7 + 7}{8}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 7 + 7$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (9 \sqrt[7]{8 x - 7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{38263752}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $8$ aus $38263752$ heraus.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 (4782969)}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8 \cdot 4782969}) + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 8 (\frac{7}{8}) - 7}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 7 - 7}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.6.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969} + 0}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $\frac{x^{7}}{4782969}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{4782969}}$

Schritt 5.3.6.3

Schreibe $4782969$ als $9^{7}$ um.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{9^{7}}}$

Schritt 5.3.7

Schreibe $\frac{x^{7}}{9^{7}}$ als ${(\frac{x}{9})}^{7}$ um.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 \sqrt[7]{{(\frac{x}{9})}^{7}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = 9 (\frac{x}{9})$

Schritt 5.3.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 9 \sqrt[7]{8 x - 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{7}}{38263752} + \frac{7}{8}$