Analysis Beispiele

$f (x) = e^{2 x} + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{2 x} + 1$ als Gleichung.

$y = e^{2 x} + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{2 y} + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{2 y} + 1 = x$ um.

$e^{2 y} + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{2 y} = x - 1$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (x - 1)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x - 1)$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (x - 1)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{2 x} + 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 x} + 1 - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $e^{2 x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Schritt 5.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Schritt 5.2.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Schritt 5.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

Schritt 5.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$