Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ als Gleichung.

$y = - \frac{2}{3} x + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{2}{3} y + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{2}{3} y + 6 = x$ um.

$- \frac{2}{3} y + 6 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{3} + 6 = x$

Schritt 3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{2 y}{3} + 6 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 y}{3} = x - 6$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{2} (- \frac{2 y}{3})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{2} (- \frac{2 y}{3}) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 y}{3} = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} (- 2 y) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} (2 (- y)) = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{2} (x - 6)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Schritt 3.5.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Schritt 3.5.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 9$

Schritt 3.5.2.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 9$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2}{3} x + 6)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3} + 6)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (- \frac{2 \cdot x}{3} + 6)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 x}{3} + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{2 x}{3}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 6)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3))}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{x}{3}) + 2 (3)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{3 \cdot (2 (- \frac{x}{3} + 3))}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.5

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.6

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (- \frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 3 \cdot 3}{3})}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{6 (\frac{- x + 9}{3})}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $6$ und $\frac{- x + 9}{3}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{6 (- x + 9)}{3}}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (- x + 9)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (- x + 9)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3}}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 (1)}}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{3 (2 (- x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{\frac{2 (- x + 9)}{1}}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $2 (- x + 9)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - \frac{2 (- x + 9)}{2} + 9$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $- x + 9$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = - (- x + 9) + 9$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Schritt 5.2.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = 1 x - 1 \cdot 9 + 9$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 1 \cdot 9 + 9$

Schritt 5.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x - 9 + 9$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 9 + 9$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2}{3} x + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{3 x}{2} + 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 9) + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x}{2} - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (- 3 x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- x)) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = - 1 (- x) - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = 1 x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - \frac{2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot 9 + 6$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (3)) + 6$

Schritt 5.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3) + 6$

Schritt 5.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 2 \cdot 3 + 6$

Schritt 5.3.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{3 x}{2} + 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{2}{3} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{2} + 9$