Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{3 x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{3 y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{3 y - 2} = x$ um.

$\sqrt[3]{3 y - 2} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{3 y - 2}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 y - 2}$ als ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y - 2)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$3 y - 2 = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{3} + 2$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} + 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{3} + 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3}}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[3]{3 x - 2})}^{3} + 2}{3}$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt[3]{3 x - 2}}^{3}$ als $3 x - 2$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{3}{3}} + 2}{3}$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{(3 x - 2) + 2}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{3 x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3}}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 - 2}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.6.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{3 x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3}$