Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{2}{3}} = x$ um.

$y^{\frac{2}{3}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$y = \pm x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

$y = x^{\frac{3}{2}}$

$y = - x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{x^{3}}$

Schritt 5.3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} \geq 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq 0$

Schritt 5.3.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 5.4.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 5.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ der Wertebereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ der Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$ die inverse Funktion von $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{3}{2}}, - x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 6