Analysis Beispiele

$f (x) = \cos (9 x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cos (9 x)$ als Gleichung.

$y = \cos (9 x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (9 y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (9 y) = x$ um.

$\cos (9 y) = x$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$9 y = \arccos (x)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $9 y = \arccos (x)$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y = \arccos (x)$ durch $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y}{9} = \frac{\arccos (x)}{9}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{9}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (9 x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (9 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (9 x)) = \frac{\arccos (\cos (9 x))}{9}$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\arccos (x)}{9})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (9 (\frac{\arccos (x)}{9}))$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = \cos (\arccos (x))$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\frac{\arccos (x)}{9}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (9 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{9}$