Analysis Beispiele

$f (x) = 6 x + 15$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 x + 15$ als Gleichung.

$y = 6 x + 15$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 y + 15$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 y + 15 = x$ um.

$6 y + 15 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 y = x - 15$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x - 15$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 y = x - 15$ durch $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 15}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $6$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 (- 5)}{6}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 x + 15$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 x + 15)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{6 x + 15}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 x + 15$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x) + 15}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x) + 3 (5)}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (5)$ heraus.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{6} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{3 (2)} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{3 (2 x + 5)}{3 \cdot 2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 x + 15) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 x + 15) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 6 (- \frac{5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 6 (\frac{- 5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 2 (3) (\frac{- 5}{2}) + 15$

Schritt 5.3.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{- 5}{2})) + 15$

Schritt 5.3.3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 3 \cdot - 5 + 15$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x - 15 + 15$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 15 + 15$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 15$ und $15$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{6} - \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 x + 15$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{6} - \frac{5}{2}$