Analysis Beispiele

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = 3 - t$ .

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3 - t$ mit $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.9

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.12

Addiere $- t$ und $t$ .

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 2.13

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t^{3}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$