Analysis Beispiele

$f (x) = (\sqrt{x}) (\sqrt[3]{x})$

Schritt 1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $x^{\frac{3}{6}}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{\frac{3}{6}}$ als $\sqrt[6]{x^{3}}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[3]{x}]$

Schritt 1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.5

Schreibe $x^{\frac{1}{3}}$ als $x^{\frac{2}{6}}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} x^{\frac{2}{6}}]$

Schritt 1.6

Schreibe $x^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{x^{2}}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3}} \sqrt[6]{x^{2}}]$

Schritt 2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3} x^{2}}]$

Schritt 3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{3 + 2}}]$

Schritt 3.2

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[6]{x^{5}}]$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[6]{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{6}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{6}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1}$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}}$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}}$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{5 - 6}{6}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{5}{6} x^{\frac{- 1}{6}}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{6}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{5}{6 x^{\frac{1}{6}}}$