Analysis Beispiele

$f (x) = (x + 1) \cos (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (1 + 0)$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$(x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \sin (x)) + 1 (- \sin (x)) + \cos (x)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (- \sin (x)) - 1 \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 4.2.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$x (- \sin (x)) - \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- x \sin (x) - \sin (x) + \cos (x)$