Analysis Beispiele

$f (x) = (9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [9 x^{5} - 6 x^{- 2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{5} - 6 x^{- 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Schritt 3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{5}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{- 2}])$

Schritt 3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} - 6 (- 2 x^{- 3}))$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$(9 x^{5} - 6 x^{- 2}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 x^{- 3})$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(9 x^{5} - 6 \frac{1}{x^{2}}) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 x^{5} \sec (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4} + 12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - 6 \frac{1}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + \frac{- 6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6}{x^{2}} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.3

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{6}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\sec (x) \cdot 6}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \sec (x)}{x^{2}} \tan (x) + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.5

Kombiniere $\tan (x)$ und $\frac{6 \sec (x)}{x^{2}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{\tan (x) (6 \sec (x))}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \cdot \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) (12 \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 6.4.7

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \sec (x) \frac{12}{x^{3}}$

Schritt 6.4.8

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{12}{x^{3}}$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{\sec (x) \cdot 12}{x^{3}}$

Schritt 6.4.9

Bringe $12$ auf die linke Seite von $\sec (x)$ .

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \sec (x) (45 x^{4}) + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$9 x^{5} \sec (x) \tan (x) + 45 x^{4} \sec (x) - \frac{6 \tan (x) \sec (x)}{x^{2}} + \frac{12 \sec (x)}{x^{3}}$