Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} + 6 x - 7)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 6 x - 7$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 6 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6 x - 7$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x - 7]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 2.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6 + 0)$

Schritt 2.7

Addiere $2 x + 6$ und $0$ .

$2 (x^{2} + 6 x - 7) (2 x + 6)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$(2 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 7) (2 x + 6)$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} + 12 x - 14) (2 x + 6)$ um.

$(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$

Schritt 3.4

Multipliziere $(2 x + 6) (2 x^{2} + 12 x - 14)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (12 x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x \cdot x + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.5.1

Bewege $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot 12 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 2 x \cdot - 14 + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.7

Mutltipliziere $- 14$ mit $2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 6 (2 x^{2}) + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.8

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.9

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x + 6 \cdot - 14$

Schritt 3.5.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 14$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} - 28 x + 12 x^{2} + 72 x - 84$

Schritt 3.6

Addiere $24 x^{2}$ und $12 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} - 28 x + 72 x - 84$

Schritt 3.7

Addiere $- 28 x$ und $72 x$ .

$4 x^{3} + 36 x^{2} + 44 x - 84$