Analysis Beispiele

$f (x) = {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ und $g (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ .

${(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x - 2$ .

${(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

${(2 x - 1)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x - 2$ .

${(2 x - 1)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$6 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$6 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 x - 1$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(3 x - 2)}^{6}$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 \cdot {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 5.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0)$

Schritt 5.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 4 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ aus $18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ aus $18 {(2 x - 1)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ heraus.

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ aus $8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x - 1)}^{3}$ heraus.

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (4 (3 x - 2))$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ aus $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1)) + 2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (4 (3 x - 2))$ heraus.

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren von $2 {(2 x - 1)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$ um.

$2 {(3 x - 2)}^{5} {(2 x - 1)}^{3} (9 (2 x - 1) + 4 (3 x - 2))$