Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2}{1 - \cos (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - \cos (x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - 1$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (1)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - 0$

Schritt 2.6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 2 π n}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4