Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x}}{5 + e^{x}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x}}{5 + e^{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 + e^{x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = - 5$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

Schritt 2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 5)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - 5$

Keine Lösung

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(0, 1)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | 0 < y < 1}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(0, 1), {y | 0 < y < 1}$

Schritt 6