Analysis Beispiele

$c (x) = 15000 + 30 x e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15000 + 30 x e^{\frac{x}{800}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$ .

$\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$

Schritt 1.2

Da $15000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [30 x e^{\frac{x}{800}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30 x e^{\frac{x}{800}}$ nach $x$ gleich $30 \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{800}}]$ .

$0 + 30 \frac{d}{d x} [x e^{\frac{x}{800}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{\frac{x}{800}}$ .

$0 + 30 (x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{800}}] + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{x}{800}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{800}$ .

$0 + 30 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + 30 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{800}$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{800}]) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Da $\frac{1}{800}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{800}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{800} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{800}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} (\frac{1}{800} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{800}$ mit $1$ .

$0 + 30 (x (e^{\frac{x}{800}} \frac{1}{800}) + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Schritt 2.8

Kombiniere $e^{\frac{x}{800}}$ und $\frac{1}{800}$ .

$0 + 30 (x \frac{e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Schritt 2.9

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{\frac{x}{800}}}{800}$ .

$0 + 30 (\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}} \cdot 1)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $e^{\frac{x}{800}}$ mit $1$ .

$0 + 30 (\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + e^{\frac{x}{800}})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + 30 \frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $30$ und $\frac{x e^{\frac{x}{800}}}{800}$ .

$0 + \frac{30 (x e^{\frac{x}{800}})}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $800$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $30 x e^{\frac{x}{800}}$ heraus.

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{800} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $800$ heraus.

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{10 (80)} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{10 (3 x e^{\frac{x}{800}})}{10 \cdot 80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$ .

$\frac{3 x e^{\frac{x}{800}}}{80} + 30 e^{\frac{x}{800}}$