Analysis Beispiele

$f (t) = \sqrt[3]{t^{2} - 5} {(3 t - 5)}^{3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{t^{2} - 5}$ als ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = {(3 t - 5)}^{3}$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [{(3 t - 5)}^{3}] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = 3 t - 5$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t - 5$ .

${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} (3 {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \cdot {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t - 5] + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [- 5]) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 + 0) + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot 3 + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{3}}$ und $g (t) = t^{2} - 5$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{2} - 5$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3} {(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{{(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 10.3

Bringe ${(t^{2} - 5)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + {(3 t - 5)}^{3} (\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5])$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und ${(3 t - 5)}^{3}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d t} [t^{2} - 5]$

Schritt 11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + \frac{d}{d t} [- 5])$

Schritt 13

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t + 0)$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 t)$

Schritt 14.2

Kombiniere $2$ und $\frac{{(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} t$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{2 {(3 t - 5)}^{3}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ und $t$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15

Um $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} \cdot \frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 16

Kombiniere $9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2}$ und $\frac{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} (3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 18

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19

Multipliziere ${(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.1

Bewege ${(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{27 ({(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}} {(t^{2} - 5)}^{\frac{1}{3}}) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2 + 1}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{\frac{3}{3}} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 20

Vereinfache $27 {(t^{2} - 5)}^{1} {(3 t - 5)}^{2}$ .

$\frac{27 (t^{2} - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21

Vereinfache.

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Schritt 21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 21.2.1

Faktorisiere ${(3 t - 5)}^{2}$ aus $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2} + 2 {(3 t - 5)}^{3} t$ heraus.

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Schritt 21.2.1.1

Faktorisiere ${(3 t - 5)}^{2}$ aus $(27 t^{2} + 27 \cdot - 5) {(3 t - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + 2 {(3 t - 5)}^{3} t}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.2

Faktorisiere ${(3 t - 5)}^{2}$ aus $2 {(3 t - 5)}^{3} t$ heraus.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.1.3

Faktorisiere ${(3 t - 5)}^{2}$ aus ${(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5) + {(3 t - 5)}^{2} (2 (3 t - 5) t)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} + 27 \cdot - 5 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 2 (3 t - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (2 (3 t) + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t + 2 \cdot - 5) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + (6 t - 10) t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t \cdot t - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.7

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 21.2.7.1

Bewege $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 (t \cdot t) - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.7.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (27 t^{2} - 135 + 6 t^{2} - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.8

Addiere $27 t^{2}$ und $6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 135 - 10 t)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 21.2.9

Stelle die Terme um.

$\frac{{(3 t - 5)}^{2} (33 t^{2} - 10 t - 135)}{3 {(t^{2} - 5)}^{\frac{2}{3}}}$