Analysis Beispiele

$f (s) = (s^{2} + 1) e^{- s^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (s) g (s)]$ gleich $f (s) \frac{d}{d s} [g (s)] + g (s) \frac{d}{d s} [f (s)]$ ist mit $f (s) = s^{2} + 1$ und $g (s) = e^{- s^{2}}$ .

$(s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [e^{- s^{2}}] + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ ist $f' (g (s)) g' (s)$ , mit $f (s) = e^{s}$ und $g (s) = - s^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- s^{2}$ .

$(s^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(s^{2} + 1) (e^{u} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- s^{2}$ .

$(s^{2} + 1) (e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [- s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- s^{2}$ nach $s$ gleich $- \frac{d}{d s} [s^{2}]$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- \frac{d}{d s} [s^{2}]) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- (2 s)) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} \frac{d}{d s} [s^{2} + 1]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s^{2} + 1$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + \frac{d}{d s} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $s$ gleich $0$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 s$ und $0$ .

$(s^{2} + 1) e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(s^{2} e^{- s^{2}} + 1 e^{- s^{2}}) (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$s^{2} e^{- s^{2}} (- 2 s) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $s$ mit $1$ .

$s^{1} s^{2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$s^{1 + 2} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$s^{3} e^{- s^{2}} \cdot - 2 + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $s^{3} e^{- s^{2}}$ .

$- 2 \cdot (s^{3} e^{- s^{2}}) + 1 e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $e^{- s^{2}}$ mit $1$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + e^{- s^{2}} (- 2 s) + e^{- s^{2}} (2 s)$

Schritt 4.3.6

Bewege $e^{- s^{2}}$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} - 2 s e^{- s^{2}} + 2 s e^{- s^{2}}$

Schritt 4.3.7

Addiere $- 2 s e^{- s^{2}}$ und $2 s e^{- s^{2}}$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}} + 0$

Schritt 4.3.8

Addiere $- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ und $0$ .

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$ um.

$- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- s^{2}} s^{3}$ um.

$- 2 s^{3} e^{- s^{2}}$