Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\csc^{5} (x)}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ als ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(\csc^{5} (x))}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\csc^{5} (x))}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{\csc (x)}^{5 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [\csc^{- 5} (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 5}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 5}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 5$ .

$- 5 u^{- 6} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \csc^{- 6} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 \csc^{- 6} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$5 (\csc^{1} (x) \csc^{- 6} (x)) \cot (x)$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 {\csc (x)}^{1 - 6} \cot (x)$

Schritt 7

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$5 \csc^{- 5} (x) \cot (x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 \frac{1}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\csc^{5} (x)}$ .

$\frac{5}{\csc^{5} (x)} \cot (x)$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{5}{\csc^{5} (x)}$ und $\cot (x)$ .

$\frac{5 \cot (x)}{\csc^{5} (x)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{5} (x)$ heraus.

$\frac{5 \cot (x)}{\csc (x) \csc^{4} (x)}$

Schritt 8.4

Separiere Brüche.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Schritt 8.5

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 8.6

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 8.7

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Schritt 8.8

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Schritt 8.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1})$

Schritt 8.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{\csc^{4} (x)} \cos (x)$

Schritt 8.10

Kombiniere $\frac{5}{\csc^{4} (x)}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{5 \cos (x)}{\csc^{4} (x)}$

Schritt 8.11

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{4} (x)$ heraus.

$\frac{5 \cos (x)}{\csc (x) \csc^{3} (x)}$

Schritt 8.12

Separiere Brüche.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Schritt 8.13

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 8.14

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.15

Multipliziere $\frac{5}{\csc^{3} (x)} (\cos (x) \sin (x))$ .

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Schritt 8.15.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{5}{\csc^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)} \sin (x)$

Schritt 8.15.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cdot 5}{\csc^{3} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc^{3} (x)}$

Schritt 8.16

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{3} (x)$ heraus.

$\frac{\cos (x) \cdot 5 \sin (x)}{\csc (x) \csc^{2} (x)}$

Schritt 8.17

Separiere Brüche.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Schritt 8.18

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 8.19

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc^{2} (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.20

Faktorisiere $\csc (x)$ aus $\csc^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5 \sin (x)}{\csc (x) \csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.21

Separiere Brüche.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.22

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{\csc (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.23

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.24

Vereinfache.

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Schritt 8.24.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.24.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.24.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 1} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.24.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 8.25

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.25.1

Bewege $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Schritt 8.25.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 8.25.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{\csc (x)} (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x)) \cos (x)$

Schritt 8.25.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{\csc (x)} {\sin (x)}^{1 + 2} \cos (x)$

Schritt 8.25.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 8.26

Separiere Brüche.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 8.27

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 8.28

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{5}{1} (1 \sin (x)) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 8.29

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{1} \sin (x) \sin^{3} (x) \cos (x)$

Schritt 8.30

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{3} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.30.1

Bewege $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin (x)) \cos (x)$

Schritt 8.30.2

Mutltipliziere $\sin^{3} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 8.30.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{5}{1} (\sin^{3} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)$

Schritt 8.30.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{1} {\sin (x)}^{3 + 1} \cos (x)$

Schritt 8.30.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{5}{1} \sin^{4} (x) \cos (x)$

Schritt 8.31

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 \sin^{4} (x) \cos (x)$