Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.2

Kombiniere $x^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$- - \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3.3

Bringe $x^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot 0$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ mit $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

Schritt 10.2

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ und $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$