Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x^{2} + x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} + x - 2 + 0$

Schritt 5.2

Addiere $x^{2} + x - 2$ und $0$ .

$x^{2} + x - 2$