Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3}}{e^{3 x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - x^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $e^{3 x}$ mit $1$ .

$\frac{e^{3 x} (3 x^{2}) - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{3 x} x^{2} - 3 x^{3} e^{3 x}$ um.

$\frac{3 x^{2} e^{3 x} - 3 x^{3} e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $3 e^{3 x} x^{2}$ aus $3 e^{3 x} x^{2} - 3 e^{3 x} x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $3 e^{3 x} x^{2}$ aus $3 e^{3 x} x^{2}$ heraus.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) - 3 e^{3 x} x^{3}}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $3 e^{3 x} x^{2}$ aus $- 3 e^{3 x} x^{3}$ heraus.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)}{e^{6 x}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3 e^{3 x} x^{2}$ aus $3 e^{3 x} x^{2} (1) + 3 e^{3 x} x^{2} (- x)$ heraus.

$\frac{3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)}{e^{6 x}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{3 x}$ und $e^{6 x}$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $e^{6 x}$ aus $3 e^{3 x} x^{2} (1 - x)$ heraus.

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{6 x} (3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)}{1}$

Schritt 5.4.2.4

Dividiere $3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$ durch $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} (1 - x)$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 e^{- 3 x} x^{2} \cdot 1 + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{2} (- x)$

Schritt 5.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.1

Bewege $x$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x \cdot x^{2}) \cdot - 1$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} (x^{1} x^{2}) \cdot - 1$

Schritt 5.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{1 + 2} \cdot - 1$

Schritt 5.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} + 3 e^{- 3 x} x^{3} \cdot - 1$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$

Schritt 5.9

Stelle die Faktoren in $3 e^{- 3 x} x^{2} - 3 e^{- 3 x} x^{3}$ um.

$3 x^{2} e^{- 3 x} - 3 x^{3} e^{- 3 x}$