Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 11}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 11}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 11$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 11] - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [11]) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 7

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 8

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Schritt 12

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Schritt 13

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Schritt 15.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Schritt 16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Schritt 18

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - (x^{2} + 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19

Vereinfache.

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Schritt 19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + (- x^{2} - 1 \cdot 11) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 19.3.1.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 1 \cdot 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 11 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.4

Kombiniere $- 11$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.2

Um $2 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.3

Kombiniere $2 x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.3.5.1.1

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 19.3.5.1.1.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.1.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $2 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) - x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.1.1.3

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $- x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.1.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{3}{2}}$ aus $x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2) + x^{\frac{3}{2}} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (4 - 1)}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.3.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.4

Vereine die Terme

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Schritt 19.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 19.4.2

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 19.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 19.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 19.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + 2 (- \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 19.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{11}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $11$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 22}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.8

Faktorisiere $2$ aus $- 22$ heraus.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Schritt 19.4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot - 11}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 19.5.1

Um $3 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.3

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.5.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{4}{2}} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.5.3.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 19.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 19.7

Multipliziere $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$ .

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Schritt 19.7.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 19.7.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.7.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 19.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.7.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.7.2.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 19.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} - 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$