Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x} - e x + e^{2}}{\log (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}}{\log (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}$ und $g (x) = \log (x)$ .

$\frac{\log (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}] - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]$ .

$\frac{\log (x) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.2.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- e x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.3

Da $- e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e x$ nach $x$ gleich $- e \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e + \frac{d}{d x} [e^{2}]) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.6

Da $e^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 8.7

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e$ und $0$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{\log^{2} (x)}$

Schritt 9

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\log (x) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - (x^{\frac{1}{2}} - e x + e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) + (- x^{\frac{1}{2}} - (- e x) - e^{2}) \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\log (x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1.1

Kombiniere $\log (x)$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (10)}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x \ln (10) x^{- \frac{1}{2}}} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.1.4.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 10.4.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} - (- e x) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 10.4.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- (- e x)$ heraus.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.5.2

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (10)$ heraus.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x (\ln (10))} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + x (- (- e)) \frac{1}{x \ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} - (- e) \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 1 e \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.7

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + e \frac{1}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.8

Kombiniere $e$ und $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - e^{2} \frac{1}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.1.9

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (10)}$ und $e^{2}$ .

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.4.2

Stelle die Faktoren in $\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \log (x) (- e) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}$ um.

$\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.5

Vereine die Terme

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$ mit $\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{\log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.2

Kombinieren.

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (\frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e \log (x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + \frac{e}{\ln (10)} - \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 10.5.4.1

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\ln (10)) \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \frac{\log (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10)$ .

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Schritt 10.5.5.1

Faktorisiere $\ln (10)$ aus $2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + \ln (10) (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{e}{\ln (10)} + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 10.5.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (10) \log (x) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}) + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.9

Kombiniere $\ln (10)$ und $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + x^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (10) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.10

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\ln (10) \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (10) \cdot - 2)}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.11

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\ln (10)$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 \cdot \ln (10))}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.12

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 \ln (10))}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.13

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) + \frac{- 2 \ln (10)}{\ln (10)} + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (10)$ .

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Schritt 10.5.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 10.5.14.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (- \frac{e^{2}}{x \ln (10)})}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{2}}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{2}}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 e^{2}}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.17

Kombiniere $\ln (10)$ und $\frac{- 2 e^{2}}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + x^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.18

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (10) (- 2 e^{2}))}{x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.19

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x \ln (10) x^{- \frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.20.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2}} x \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 10.5.20.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2} + 1} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.20.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.21

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{\ln (10) (- 2 e^{2})}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.22

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e + \frac{- 2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.5.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\ln (10) \log (x) - 2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} (e \log (x)) - 2 + 2 x^{\frac{1}{2}} e - \frac{2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 \ln (10) x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x)}$

Schritt 10.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- \frac{2 e^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (10) \log (x) - 2 e x^{\frac{1}{2}} \ln (10) \log (x) + 2 e x^{\frac{1}{2}} - 2}{2 x^{\frac{1}{2}} \log^{2} (x) \ln (10)}$