Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 2 e^{- 3 x})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 2 e^{- 3 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - 2 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 2 e^{- 3 x}$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 e^{- 3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}]$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}])$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{- 3 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x} \cdot 1)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x + 2 (- 2 e^{- 3 x})) (1 + 6 e^{- 3 x})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(2 x - 4 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 4 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$ um.

$(1 + 6 e^{- 3 x}) (2 x - 4 e^{- 3 x})$