Analysis Beispiele

$f (x) = {(4 x + 3)}^{2} \ln (4 x + 3)$

Schritt 1

Schreibe ${(4 x + 3)}^{2}$ als $(4 x + 3) (4 x + 3)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 x + 3) (4 x + 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 2

Multipliziere $(4 x + 3) (4 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x + 3) + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x + 3)) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(4 x (4 x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 4 x \cdot 3 + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 3 (4 x) + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 3 \cdot 3) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 3.2

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(16 x^{2} + 24 x + 9) \ln (4 x + 3)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 16 x^{2} + 24 x + 9$ und $g (x) = \ln (4 x + 3)$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{d}{d x} [\ln (4 x + 3)] + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 3$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) (\frac{1}{4 x + 3} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} (4 + 0) + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{1}{4 x + 3} \cdot 4 + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.6.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4 x + 3}$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 24 x + 9]$

Schritt 6.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} + 24 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.8

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.11

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.13

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 6.14

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24 + 0)$

Schritt 6.15

Addiere $32 x + 24$ und $0$ .

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + \ln (4 x + 3) (32 x + 24)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$(16 x^{2} + 24 x + 9) \frac{4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $16 x^{2} + 24 x + 9$ mit $\frac{4}{4 x + 3}$ .

$\frac{(16 x^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 9) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 24 x + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$24 x = 2 \cdot (4 x) \cdot 3$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{({(4 x)}^{2} + 2 \cdot (4 x) \cdot 3 + 3^{2}) \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 4 x$ und $b = 3$ .

$\frac{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 4}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(4 x + 3)}^{2}$ und $4 x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $4 x + 3$ aus ${(4 x + 3)}^{2} \cdot 4$ heraus.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{4 x + 3} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x + 3) ((4 x + 3) \cdot 4)}{(4 x + 3) \cdot 1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4}{1} + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.3.2.4

Dividiere $(4 x + 3) \cdot 4$ durch $1$ .

$(4 x + 3) \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x + 3 \cdot 4 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$16 x + 12 + (32 x + 24) \ln (4 x + 3)$

Schritt 7.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 12 + 32 x \ln (4 x + 3) + 24 \ln (4 x + 3)$