Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \tan (x)}{\sec (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} \tan (x)$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$3 \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \tan (x)] - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 8

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 10

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 11

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) - x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- x^{2} \tan^{2} (x) \sec (x)$ heraus.

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x)) + \sec (x) (- x^{2} \tan^{2} (x))$ heraus.

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{\sec (x) (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$

Schritt 13

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x)}{\sec (x)}$ .

$\frac{3 (x^{2} \sec^{2} (x) + \tan (x) (2 x) - x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 (x^{2} \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ heraus.

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 (x^{2} \sec^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 (\tan (x) (2 x)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.1.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 (\tan (x) (2 x))$ heraus.

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2)) + 3 (- x^{2} \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.1.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 (- x^{2} \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.1.4

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x \sec^{2} (x)) + 3 x (\tan (x) \cdot (2))$ heraus.

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.1.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2)) + 3 x (- x \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2) - x \tan^{2} (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.2

Bewege $- x \tan^{2} (x)$ .

$\frac{3 x (x \sec^{2} (x) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x)) - x \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.4

Faktorisiere $x$ aus $- x \tan^{2} (x)$ heraus.

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\sec^{2} (x)) + x (- 1 \tan^{2} (x))$ heraus.

$\frac{3 x (x (\sec^{2} (x) - 1 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{3 x (x \cdot 1 + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x (x + \tan (x) \cdot (2))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.9.1

Bewege $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} + 6 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Schritt 14.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 6 x \tan (x)$ heraus.

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 x (x) + 6 x \tan (x)}{\sec (x)}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $3 x$ aus $6 x \tan (x)$ heraus.

$\frac{3 x (x) + 3 x (2 \tan (x))}{\sec (x)}$

Schritt 14.3.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (2 \tan (x))$ heraus.

$\frac{3 x (x + 2 \tan (x))}{\sec (x)}$