Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 1$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (x) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{2}) + 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{2}) + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 1 (- x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.12

Schreibe $- (2 x^{2} - x - 2)$ als $- 1 (2 x^{2} - x - 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 (2 x^{2} - x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$