Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sec (\frac{1}{x})}$

Schritt 1

Schreibe $\sec (\frac{1}{x})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ zu dividieren.

$\frac{d}{d x} [1 \cos (\frac{1}{x})]$

Schritt 3

Mutltipliziere $\cos (\frac{1}{x})$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{x})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})$

Schritt 5.3

Multipliziere.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\sin (\frac{1}{x})$ mit $1$ .

$\sin (\frac{1}{x}) x^{- 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (\frac{1}{x}) \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Kombiniere $\sin (\frac{1}{x})$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{x})}{x^{2}}$