Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{1 - x}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{1 - x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 - x$ .

$2 \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 \frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 \frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 \frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$2 \frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9.3

Addiere $1$ und $0$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 3.9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$