Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{10 \log_{4} (x)}{x}$

Schritt 1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10 \log_{4} (x)}{x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{\log_{4} (x)}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \log_{4} (x)$ und $g (x) = x$ .

$10 \frac{x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)] - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\log_{4} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{x \frac{1}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{\frac{x}{x \ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$10 \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ mit $\frac{\ln (4)}{\ln (4)}$ .

$10 (\frac{\ln (4)}{\ln (4)} \cdot \frac{\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$10 \frac{\ln (4) (\frac{1}{\ln (4)} - \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{\ln (4) \frac{1}{\ln (4)} + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x])}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x) \cdot 1)}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$10 \frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $10$ und $\frac{1 + \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$ .

$\frac{10 (1 + \ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 \cdot 1 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{10 + 10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Multipliziere $10 (\ln (4) (- \log_{4} (x)))$ .

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Schritt 9.2.1.2.1

Stelle $\ln (4)$ und $10$ um.

$\frac{10 + 10 \cdot \ln (4) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.2.1.2.2

Vereinfache $10 \cdot \ln (4)$ , indem du $10$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{10 + \ln (4^{10}) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $4$ mit $10$ .

$\frac{10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.2.2

Stelle die Faktoren in $10 + \ln (1048576) (- \log_{4} (x))$ um.

$\frac{10 - \ln (1048576) \log_{4} (x)}{\ln (4) x^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- \ln (1048576) \log_{4} (x) + 10}{x^{2} \ln (4)}$