Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + {(x + 4)}^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{5}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 4$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} (1 + 0)$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4}$

Schritt 5.1.2

Um $5 {(x + 4)}^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 {(x + 4)}^{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $5 {(x + 4)}^{4}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 5 {(x + 4)}^{4} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1 + 10 {(x + 4)}^{4} x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{10 x^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{4} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$