Analysis Beispiele

$f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\log_{3} (x + x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{(x + x^{\frac{1}{2}}) \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ um.

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ aus $x \ln (3) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3)}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ aus $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ heraus.

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)}$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}} \ln (3)$ aus $x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (1)$ heraus.

$(1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.7

Multipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

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Schritt 11.7.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.8.1

Forme um.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{2}{2}} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} (\ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1))}$

Schritt 11.8.6

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{1} \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$

Schritt 11.8.7

Vereinfache.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x \ln (3) (x^{\frac{1}{2}} + 1)}$