Analysis Beispiele

$f (x) = t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{1}{3}} + 4$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} t^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{\frac{1}{3}}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $t^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - \frac{t^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 3.9

Bringe $t^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d t} [4]$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3} t^{- \frac{1}{3}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$\frac{2}{3 t^{\frac{1}{3}}} - \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$