Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 - \cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Ordne Terme um.

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \cos (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$