Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\tan (x - 5)}{x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \tan (x - 5)$ und $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\tan (x - 5)] - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 5$ .

$\frac{(x - 1) (\sec^{2} (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) (1 + 0) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) \cdot 1 - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - 1 \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.8.3.2

Schreibe $- 1 \sec^{2} (x - 5)$ als $- \sec^{2} (x - 5)$ um.

$\frac{x \sec^{2} (x - 5) - \sec^{2} (x - 5) - \tan (x - 5)}{{(x - 1)}^{2}}$