Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sin (x)}{x} + \frac{| \sin (x) |}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{| \sin (x) |}{x}]$ .

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Schritt 3.1

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{d}{d x} [| \sin (x) |] - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |} \cos (x)) - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{| \sin (x) |}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x \frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (x) \cos (x)}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) | \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $\frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$ mit $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} \cdot \frac{\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |}{x^{2}}$

Schritt 3.9

Kombinieren.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | (\frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} - | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| \sin (x) |$ .

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Schritt 3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{| \sin (x) | \frac{x (\sin (x) \cos (x))}{| \sin (x) |} + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) + | \sin (x) | (- | \sin (x) |)}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.12

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.13

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.14

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | {\sin (x)}^{1 + 1} |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} \cdot \frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $| \sin (x) | x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ mit $\frac{| \sin (x) |}{| \sin (x) |}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{| \sin (x) | x^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Stelle die Faktoren von $| \sin (x) | x^{2}$ um.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) |}{x^{2} | \sin (x) |} + \frac{x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) | \sin (x) | + x (\sin (x) \cos (x)) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x)) + | \sin (x) | (- \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - | \sin^{2} (x) |}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.3

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $| \sin (x) | x \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.3.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x | \sin (x) | \cos (x) - | \sin (x) | \sin (x)) + x \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{| \sin (x) | (x \cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (x \cos (x) - \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x \cos (x) - \sin (x)$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) (| \sin (x) | + \sin (x))}{x^{2} | \sin (x) |}$