Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\ln (1 + x^{2})}{\arctan (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (1 + x^{2})$ und $g (x) = \arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x^{2})] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{\arctan (x) (\frac{1}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $\arctan (x)$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} (2 x) - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} x - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $\frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$ mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} - \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{2 \arctan (x) x}{1 + x^{2}} + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 6

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \ln (1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{1 + x^{2}}$ und $\ln (1 + x^{2})$ .

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) (- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \arctan (x) x + (1 + x^{2}) \frac{- \ln (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Stelle die Faktoren in $2 \arctan (x) x - \ln (1 + x^{2})$ um.

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere ${\arctan (x)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.4

Faktorisiere ${\arctan (x)}^{2}$ aus ${\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere ${\arctan (x)}^{2}$ aus $x^{2} {\arctan (x)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere ${\arctan (x)}^{2}$ aus ${\arctan (x)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (x)}^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{2 x \arctan (x) - \ln (1 + x^{2})}{{\arctan (x)}^{2} (1 + x^{2})}$