Analysis Beispiele

$f (x) = e^{\ln (2)} + e^{x} \sin (x)$

Schritt 1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{d}{d x} [2 + e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + e^{x} \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$0 + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$