Analysis Beispiele

$f (x) = 5^{3} \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $125 \sqrt{x^{4}} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [125 \sqrt{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{4}}$ als $x^{\frac{4}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [125 x^{\frac{4}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 2.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{d}{d x} [125 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 2.3

Da $125$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $125 x^{2}$ nach $x$ gleich $125 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$125 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$125 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$250 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$250 x + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$250 x + 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$250 x + 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$250 x + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$250 x + 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$250 x + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$250 x + 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$250 x + 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3 x^{3}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 4.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 4.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$250 x - 4 x^{- 3} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4}$

Schritt 4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3} x^{- 4}$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3 x^{- 4}}{3}$

Schritt 4.11

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Schritt 4.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{3}{3 x^{4}}$

Schritt 4.12.2

Forme den Ausdruck um.

$250 x - 4 x^{- 3} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$250 x - 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$250 x + \frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$250 x - \frac{4}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$