Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt[7]{9 x^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{9 x^{3}}$ als ${(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(9 (x^{3}))}^{\frac{1}{7}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $9 (x^{3})$ an.

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} {(x^{3})}^{\frac{1}{7}}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{3 (\frac{1}{7})}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{d}{d x} [9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}]$

Schritt 2

Da $9^{\frac{1}{7}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9^{\frac{1}{7}} x^{\frac{3}{7}}$ nach $x$ gleich $9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{7}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 1 \cdot 7}{7}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{3 - 7}{7}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{\frac{- 4}{7}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9^{\frac{1}{7}} (\frac{3}{7} x^{- \frac{4}{7}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x^{- \frac{4}{7}}$ .

$9^{\frac{1}{7}} \frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 10

Kombiniere $9^{\frac{1}{7}}$ und $\frac{3 x^{- \frac{4}{7}}}{7}$ .

$\frac{9^{\frac{1}{7}} (3 x^{- \frac{4}{7}})}{7}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{7})} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3^{1 + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 13

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7}{7} + \frac{2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3^{\frac{7 + 2}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 15

Addiere $7$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}} x^{- \frac{4}{7}}}{7}$

Schritt 16

Bringe $x^{- \frac{4}{7}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{9}{7}}}{7 x^{\frac{4}{7}}}$