Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{6}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(7 x - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{({(7 x - 6)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere ${(7 x - 6)}^{6}$ mit $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{6}]}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 7 x - 6$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - x (6 {(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(7 x - 6)}^{5}$ aus ${(7 x - 6)}^{6} - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(7 x - 6)}^{5}$ aus ${(7 x - 6)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) - 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(7 x - 6)}^{5}$ aus $- 6 x ({(7 x - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ heraus.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(7 x - 6)}^{5}$ aus ${(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{5} (- 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ heraus.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{12}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(7 x - 6)}^{5}$ aus ${(7 x - 6)}^{12}$ heraus.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(7 x - 6)}^{5} (7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{5} {(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 7

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 10

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 11

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 11.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 6 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 6$ .

$\frac{7 x - 6 - 42 x}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 11.3

Subtrahiere $42 x$ von $7 x$ .

$\frac{- 35 x - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 35 x$ heraus.

$\frac{- (35 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 12.2

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{- (35 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (35 x) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{- (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 12.4

Schreibe $- (35 x + 6)$ als $- 1 (35 x + 6)$ um.

$\frac{- 1 (35 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{7}}$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{35 x + 6}{{(7 x - 6)}^{7}}$