Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} (2 e^{x^{2}})$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} (2 e^{x^{2}})$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (e^{x^{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{1} x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (x^{1 + 2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$2 (x^{3} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{x^{2}}$ .

$2 (x^{3} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (2 x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x^{3} (2 e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (x^{3} (e^{x^{2}})) + 2 (e^{x^{2}} (2 x))$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 e^{x^{2}} x$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren in $4 e^{x^{2}} x^{3} + 4 e^{x^{2}} x$ um.

$4 x^{3} e^{x^{2}} + 4 x e^{x^{2}}$