Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \cot (x) - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \cot (x)]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 3.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 x^{- 3}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{2} (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (2 x) + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- x^{2} \csc^{2} (x) + 2 x \cot (x) + \frac{2}{x^{3}}$